Opisujemy układy – poziom I (elektryczne)

Kategoria 2 – proste układy elektryczne

Dynamikę układów elektrycznych będę przybliżał za pomocą obwodów, złożonych z trzech podstawowych elementów: rezystora, kondensatora i cewki, oraz dwóch typów źródeł: źródła prądowego i napięciowego (przy czym w przypadku źródeł wykorzystane zostaną symbole, zwykle rezerwowane dla źródeł prądu/napięcia stałego – u mnie będą niekoniecznie stałe):

Zależności pomiędzy natężeniem prądu a spadkiem napięcia na tych elementach, są następujące:

Dla rezystora (prawo Ohma):
$u_R=R \cdot i_R$

Dla kondensatora:

$i_C=C \cdot \frac{du_C}{dt}$

Dla cewki:

$u_L=L \cdot \frac{di_L}{dt}$

Istnieją elementy, dla których zależności pomiędzy prądem i napięciem są bardziej skomplikowane, ale na razie nie będę się nimi zajmował.

Zajmijmy się stworzeniem opisu dla poniższego układu:

Najpierw, spróbujmy wykorzystać wszystkie zależności pomiędzy natężeniami prądów i napięciami:

$u_{R1}=R_1 i_1$ ,
$u_{R2}=R_2 i_L$

$u_L=L\frac{di_L}{dt}$

$i_C=C\frac{du_C}{dt}$

oraz prawa Kirchoffa:

$i_L=i_1+i_C$

$u_C=u_{R1}$

$u=u_{R1}+u_L+u_{R2}$

Jak widać, mamy siedem niewiadomych: $i_1(t)$ , $i_C(t)$ , $i_L(t)$ , $u_C(t)$ , $u_L(t)$ , $u_{R1}(t)$ i $u_{R2}(t)$ , i siedem równań – czyli opis jest kompletny. Posługiwanie się nim byłoby jednak niewygodne, stąd zwykle redukujemy liczbę równań i zmiennych, stosując podstawienia z jednego równania do kolejnych. W zależności od tego, jak chcemy ustandaryzować formę opisu, posługiwać się będziemy albo układem dwóch równań pierwszego rzędu (tzn. bez pochodnych wyższych rzędów):

$i_L=\frac{u_C}{R_1}+C\frac{du_C}{dt}$

$u=u_C+L\frac{di_L}{dt}+i_L R_2,$

co, po uporządkowaniu wyrażeń, stanowi tzw. równania stanu (o czym w osobnym wpisie). Możemy opis sprowadzić do pojedynczego równania różniczkowego wyższego rzędu, np. wstawiając do drugiego z powyższych równań zależność określającą $i_L$ z pierwszego równania:

$u=LC\frac{d^2 u_C}{dt^2}+\left( \frac{L}{R_1}+R_2C \right)\frac{du_C}{dt}+\left(1+\frac{R_2}{R_1} \right) u_C.$

Postępując w sposób opisany powyżej (tzn. uwzględniając prawa Kirchhoffa i zależności pomiędzy natężeniem prądu i napięciam na poszczególnych elementach) możemy opisać dowolny układ elektryczny, a równania końcowe są bilansami prądów i napięć.

Jeśli wpis Ci się spodobał i uważasz, że może warto, by Twoi znajomi go przeczytali – proszę poleć go.

Opisujemy układy – poziom I (elektryczne)

Dołącz do rozmowy

Dodaj komentarz

Anuluj pisanie odpowiedzi