{"id":221,"date":"2021-04-11T13:12:14","date_gmt":"2021-04-11T13:12:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/?p=221"},"modified":"2021-05-25T09:09:45","modified_gmt":"2021-05-25T09:09:45","slug":"opisujemy-uklady-poziom-i-zbiorniki","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/2021\/04\/11\/opisujemy-uklady-poziom-i-zbiorniki\/","title":{"rendered":"Opisujemy uk\u0142ady – poziom I (zbiorniki)"},"content":{"rendered":"\n\n\n

Ostatnim typem uk\u0142ad\u00f3w, kt\u00f3re b\u0119d\u0105 s\u0142u\u017cy\u0142y do ilustrowania r\u00f3\u017cnych zagadnie\u0144, zwi\u0105zanych z dynamik\u0105 uk\u0142ad\u00f3w, s\u0105 uk\u0142ady zbiornik\u00f3w. Najprostszy z nich wygl\u0105da tak:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 1 Pojedynczy zbiornik<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Wej\u015bciem w tym uk\u0142adzie jest przep\u0142yw \"q_{we}\". Zale\u017cy ono tak naprawd\u0119 od ci\u015bnienia wej\u015bciowego i charakterystyki oraz stopnia otwarcia zaworu, ale dla uproszczenia pos\u0142ugiwa\u0107 si\u0119 b\u0119dziemy w\u0142a\u015bnie przep\u0142ywem. R\u00f3wnania dla zbiornik\u00f3w oparte s\u0105 na bardzo prostej regule – r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy ilo\u015bci\u0105 cieczy wp\u0142ywaj\u0105cej i wyp\u0142ywaj\u0105cej ze zbiornika stanowi przyrost obj\u0119to\u015bci cieczy w tym zbiorniku:<\/p>\n\n\n\n

\"\frac{dV}{dt}=q_{we} - q_{wy}\". <\/p>\n\n\n\n

Zak\u0142adaj\u0105c, \u017ce pole przekroju powierzchni zbiornika jest sta\u0142e i wynosi \"A\", otrzymujemy<\/p>\n\n\n\n

\"A\frac{dh}{dt}=q_{we} - q_{wy}\".<\/p>\n\n\n\n

Mo\u017cemy mie\u0107 do czynienia z jednym z dw\u00f3ch typ\u00f3w przep\u0142yw\u00f3w: laminarnym albo turbulentnym. W przep\u0142ywie laminarnym wielko\u015b\u0107 przep\u0142ywu jest proporcjonalna do ci\u015bnienia panuj\u0105cego w zbiorniku, a poniewa\u017c ci\u015bnienie jest proporcjonalne do wysoko\u015bci s\u0142upa cieczy, mo\u017cemy zapisa\u0107<\/p>\n\n\n\n

\"q_{wy}=C \cdot h\",<\/p>\n\n\n\n

gdzie \"C\" jest wsp\u00f3\u0142czynnikiem proporcjonalno\u015bci.<\/p>\n\n\n\n

W przep\u0142ywie turbulentnym wielko\u015b\u0107 przep\u0142ywu jest proporcjonalna do pierwiastka z ci\u015bnienia, co mo\u017cna zapisa\u0107 jako <\/p>\n\n\n\n

\"q_{wy}=\hat{C} \cdot \sqrt{h}\".<\/p>\n\n\n\n

Ostatecznie, dynamika zmian obj\u0119to\u015bci cieczy\/wysoko\u015bci s\u0142upa cieczy\/przep\u0142ywu wyj\u015bciowego jest opisana za pomoc\u0105 jednego r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowego i jednego r\u00f3wnania algebraicznego. Sprowadzaj\u0105c ten zapis do pojedynczego r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowego, np. w przypadku przep\u0142ywu turbulentnego, otrzymujemy:<\/p>\n\n\n\n

\"A\frac{dh}{dt}=q_{we}- \hat{C} \cdot \sqrt{h}\".<\/p>\n\n\n\n

W przypadku, gdy przekr\u00f3j zbiornika nie jest sta\u0142y, obliczenia nieco si\u0119 komplikuj\u0105. Przyk\u0142adowo, gdy zbiornik ma kszta\u0142t lejka:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 2 Zbiornik o zmiennym przekroju<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

jego obj\u0119to\u015b\u0107 mo\u017cna obliczy\u0107 jako obj\u0119to\u015b\u0107 sto\u017cka (zaniedbujemy fakt, \u017ce tak naprawd\u0119 jest to sto\u017cek \u015bci\u0119ty), czyli<\/p>\n\n\n\n

\"V=\frac{1}{3}\pi r^2 h\".<\/p>\n\n\n\n

Pami\u0119taj\u0105c o tym, \u017ce \"h=h(t)\" i \"r=r(t)\", oraz uwzgl\u0119dniaj\u0105c zale\u017cno\u015b\u0107 \"r=h\tan \alpha\", otrzymujemy \"V=\frac{1}{3}\pi \tan^2\alpha h^3\" i mo\u017cemy obliczy\u0107 zmian\u0119 obj\u0119to\u015bci \"V\" w czasie jako<\/p>\n\n\n\n

\"\frac{dV}{dt}=\pi \tan^2\alpha h^2 \frac{dh}{dt}\".<\/p>\n\n\n\n

W takim razie, dynamika zmian poziomu cieczy w zbiorniku opisana jest r\u00f3wnaniem<\/p>\n\n\n\n

\"\pi \tan^2\alpha h^2 \frac{dh}{dt}=q_{we}-q_{wy}\",<\/p>\n\n\n\n

gdzie \"q_{wy}\", w zale\u017cno\u015bci od typu przep\u0142ywu, jest opisany jedn\u0105 z wy\u017cej podanych zale\u017cno\u015bci algebraicznych.<\/p>\n\n\n\n

W przypadku, gdy mamy do czynienia z dwoma po\u0142\u0105czonymi zbiornikami, jak na rysunku poni\u017cej, przep\u0142yw pomi\u0119dzy nimi zale\u017cy od r\u00f3\u017cnicy ci\u015bnie\u0144 (co sprowadza si\u0119 do zale\u017cno\u015bci od r\u00f3\u017cnicy poziom\u00f3w cieczy).<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 3 Uk\u0142ad dw\u00f3ch po\u0142\u0105czonych zbiornik\u00f3w<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

W przypadku przep\u0142ywu laminarnego b\u0119dziemy wi\u0119c mieli \"q_{12}=C \cdot (h_1-h_2)\", a w przypadku przep\u0142ywu turbulentnego \"q_{12}=C \cdot \sqrt{h_1-h_2}\". W tym drugim przypadku, musimy przy tym za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce \"h_1>h_2\" – w przeciwnym wypadku przep\u0142yw \"q_{12}=-C \cdot \sqrt{h_2-h_1}\" (jest ujemny, poniewa\u017c skierowany w stron\u0119 przeciwn\u0105, ni\u017c wskazuje strza\u0142ka na rysunku). Takie zastrze\u017cenie nie jest potrzebne przy opisie przep\u0142ywu laminarnego (dlaczego?).<\/p>\n\n\n\n

Poniewa\u017c uk\u0142ad sk\u0142ada si\u0119 z dw\u00f3ch zbiornik\u00f3w, potrzebne s\u0105 dwa r\u00f3wnania – po jednym dla ka\u017cdego z nich. Zak\u0142adaj\u0105c, \u017ce np. wszystkie przep\u0142ywy s\u0105 laminarne r\u00f3wnania opisuj\u0105ce dynamik\u0119 takiego uk\u0142adu przyjmuj\u0105 nast\u0119puj\u0105c\u0105 posta\u0107: <\/p>\n\n\n\n

\"A_1\frac{dh_1}{dt}=q_{we}-C_1(h_1-h_2)\",<\/p>\n\n\n\n

\"A_1\frac{dh_1}{dt}=C_1(h_1-h_2) - C_2 h_2\".<\/p>\n\n\n\n

Trzeba pami\u0119ta\u0107, \u017ce milcz\u0105co przyj\u0119li\u015bmy ca\u0142kiem sporo za\u0142o\u017ce\u0144. Po pierwsze, zak\u0142adamy, \u017ce ciecz, wp\u0142ywaj\u0105ca z g\u00f3ry do zbiornika, w zasadzie od razu rozk\u0142ada si\u0119 po ca\u0142ej powierzchni (pomijamy efekty falowania). Po drugie, za\u0142o\u017cyli\u015bmy, \u017ce ciecz nie przelewa si\u0119 przez \u015bciany (czyli zbiorniki s\u0105 wystarczaj\u0105co wysokie dla za\u0142o\u017conych przep\u0142yw\u00f3w wej\u015bciowych). Wreszcie, po trzecie, za\u0142o\u017cyli\u015bmy, \u017ce przep\u0142ywy s\u0105 ca\u0142y czas albo turbulentne, albo laminarne. Po czwarte – nic nie kapie… <\/p>\n\n\n\n

Je\u015bli wpis Ci si\u0119 spodoba\u0142 i uwa\u017casz, \u017ce mo\u017ce warto, by Twoi znajomi go przeczytali – prosz\u0119 pole\u0107 go.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ostatnim typem uk\u0142ad\u00f3w, kt\u00f3re b\u0119d\u0105 s\u0142u\u017cy\u0142y do ilustrowania r\u00f3\u017cnych zagadnie\u0144, zwi\u0105zanych z dynamik\u0105 uk\u0142ad\u00f3w, s\u0105 uk\u0142ady zbiornik\u00f3w. Najprostszy z nich wygl\u0105da tak: Wej\u015bciem w tym uk\u0142adzie jest przep\u0142yw $q_{we}$. Zale\u017cy ono tak naprawd\u0119 od ci\u015bnienia wej\u015bciowego i charakterystyki oraz stopnia otwarcia zaworu, ale dla uproszczenia pos\u0142ugiwa\u0107 si\u0119 b\u0119dziemy w\u0142a\u015bnie przep\u0142ywem. R\u00f3wnania dla zbiornik\u00f3w oparte s\u0105 … <\/p>\n

Czytaj dalej Opisujemy uk\u0142ady – poziom I (zbiorniki)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[12,4],"tags":[10,17,19,6],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/221"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=221"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/221\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":249,"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/221\/revisions\/249"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=221"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=221"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.zrozumiecdynamike.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=221"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}